Démonstration (en admettant ce qui précède) que les trois polygones réguliers valables sont le carré,  le triangle équilatéral et l’hexagone :
Soit n¦ 3 le nombre de côtés du polygone régulier. On peut diviser un polygone en (n-2) triangles. Exemple sur l’hexagone et le pentagone

La somme des angles entre deux côtés consécutifs du polygone vaut donc

(n-2)x180= 180n-360

Tous ces angles ont la même valeur car le polygone est régulier. Chaque angle vaut 

D’après la propriété P1, on a :

Si n=3, k=6 (entier naturel) VRAI POUR LE TRIANGLE EQUILATERAL.

Si n=4, k=8/2=4 (entier naturel) VRAI POUR LE CARRE.

Si n=5, k=10/3 (ce n’est pas un entier naturel) FAUX POUR LE PENTAGONE REGULIER.

Si n=6, k=12/4=3 (entier naturel) VRAI POUR L’HEXAGONE REGULIER.

Si n¦7, k<3 ; Comme k doit être un entier naturel k=2 ou k=1

Cas 1 : k=1

n-2=2n

n=-2

n étant un nombre de côtés il ne peut pas être négatif : IMPOSSIBLE !

Cas 2 : k=2

2(n-2)=2n

2n=2n-4

0=-4

IMPOSSIBLE !

BILAN : les seules solutions sont donc le carré, le triangle équilatéral et l’hexagone régulier.